ترسیم هندسی - دهم ریاضی - نکات درسی - فاضل مهرآئین

در این مطلب قصد داریم درس یک هندسه دهم را در قالب درسنامه و نکات آموزشی بررسی کنیم.

دوستان عزیز برای ارتباط بیشتر با رتبه برترهای کنکور سراسری و آشنایی با روش های مطالعه میتونین از طریق لینک زیر اقدام کنید

رتبه برترهای کانون

فاضل مهرآئین _ دانشجوی مهندسی مکانیک صنعتی شریف

نیمساز

هر نقطه روی نیمساز زاویه، از دو ضلع آن زاویه به یک فاصله است و هر نقطه که از دو ضلع زاویه به یک فاصله باشد، روی نیمساز زاویه قرار دارد.

 ترسیم نیمساز 

برای رسم نیمساز زاویه رو به رو، ابتدا به مرکز O و شعاعی دلخواه کمانی رسم می کنیم تا OX و OY را به ترتیب در  A و B قطع کند. سپس به مرکز  B و شعاعی بیش از نصف اندازه پاره خط AB کمانی رسم می کنیم و به اندازه همین شعاع اما به مرکز A کمان دیگری رسم می کنیم. محل برخورد این دو کمان را M می نامیم.

به دلیل همنهشتی (ض ض ض)  دو مثلث OMB و  OMA  نیم خط OM نیمساز زاویه XOY است.

عمود منصف

هر نقطه روی عمود منصف پاره خط، از دو سر آن پاره خط به یک فاصله است و هر نقطه که از دو سر پاره خط به یک فاصله باشد، روی عمود منصف آن پاره خط قرار دارد.

ترسیم عمود منصف

برای رسم عمود منصف پاره خط AB دهانه پرگار را بیش از نصف AB باز کرده و یک بار به مرکز A و بار دیگر به مرکز B و با همان شعاع کمان می زنیم. این دو کمان یکدیگر را در نقاط  M و N قطع می کنند. از آنجا که M و N از A و B به یک فاصله هستند، خطی که از نقاط M و N می گذرد، عمود منصف پاره خط AB است.

استدلال استقرایی: در این نوع استدلال از جزء به کل می رسیم و نمی توان از درستی نتیجه، اطمینان داشت.

استدلال استنتاجی: اگر بر اساس حقایقی که درستی آن ها را پذیرفته ایم نتیجه ای کلی بگیریم، این روش استدلال را استدلال استنتاجی می نامیم و نتیجه آن همواره درست و مورد اعتماد است.

گزاره: جمله ای خبری است که حتما درست یا نادرست است. گزاره ساده، گزاره ای است که فقط یک خبر را اعلام می کند. گزاره مرکب،ترکیبی از چند گزاره ساده است.

نقیض یک گزاره: اگر P یک گزاره باشد، ((چنین نیست که  P  )) را نقیض گزاره P می گوییم و ارزش آن دقیقا مخالف ارزش گزاره اصلی است. یعنی اگر P  درست باشد، نقیض آن نادرست است.

گزاره شرطی: گزاره ای است که خبری را با یک جمله شرطی بیان می کند.

قضیه: گزاره ای است که بتوان درستی آن را با استدلال استنتاجی معلوم کرد. اگر قضیه به صورت گزاره شرطی باشد، آن را قضیه شرطی می نامیم. هر قضیه دو قسمت دارد: فرض و حکم. فرض قضیه، گزاره یا گزاره هایی است که درست بودن آن یا آنها را قبول داریم. حکم قضیه، گزاره یا گزاره هایی است که درست بودن آن یا آنها را باید از فرض قضیه نتیجه گرفت. اگر در قضیه ای جای فرض و حکم را عوض کنیم، گزاره ای به دست می آید که آن را عکس قضیه مورد نظر می نامیم و ممکن است درست یا نادرست باشد.

برهان خلف: نوعی از استدلال است که در مسائل ریاضی و هندسی کاربرد دارد. بدین صورت که به جای آنکه به طور مستقیم از فرض شروع کنیم و به درستی حکم برسیم، فرض می کنیم حکم غلط باشد و به یک تناقض یا یا به یک گزاره غلط یا غیر ممکن می رسیم. در این حالت نتیجه می گیریم که فرض غلط بودن حکم نادرست بوده و حکم نمی تواند غلط باشد.

مثال نقض: به مثالی که برای رد درستی یک ادعا بیان می شود، مثال نقض گفته می شود.

قضیه: عمود منصف های اضلاع هر مثلث همرس هستند. 

نقطه همرسی عمود منصف ها برای مثلث های حاده، داخل مثلث و برای مثلث های قائم الزاویه، روی مثلث و برای مثلث های منفرجه، خارج مثلث است. 

قضیه: ارتفاع های( یا امتداد آنها) هر مثلث همرس هستند. 

نقطه همرسی ارتفاع ها برای مثلث های حاده، داخل مثلث و برای مثلث های قائم الزاویه، روی مثلث و برای مثلث های منفرجه، خارج مثلث است. 

قضیه: نیمسازهای زوایای داخلی هر مثلث همرس هستند. 

نقطه همرسی نیمسازهای زوایای داخلی، همواره درون مثلث قرار دارد.

قضیه: میانه های اضلاع هر مثلث، در نقطه ای درون مثلث، همرس هستند. 

قضیه: نیمسازهای دو زاویه خارجی مثلث و زاویه داخلی دیگر، همرس اند.

قضیه: هر زاویه خارجی مثلث، از هر زاویه داخلی غیر مجاورش بزرگ تر است.

اگر در مثلثی دو ضلع نابرابر باشند، زاویه رو به رو به ضلع بزرگ تر ، بزرگ تر است از زاویه رو به رو به ضلع کوچک تر و بالعکس.

قضیه حمار(نابرابری مثلث) :

مجموع طول های هر دو ضلع مثلث، از طول سوم بزرگ تر است.

در هر مثلث، نسبت اندازه های هر دو ضلع، با عکس نسبت ارتفاع های وارد بر آنها برابر است:

نکته: هر گاه اندازه ارتفاع های دو مثلث برابر باشد، نسبت مساحت های آنها برابر با نسبت اندازه قاعده هایی است که این ارتفاع ها بر آنها وارد شده اند.

نکته: اگر دو مثلث در یک راس مشترک بوده و قاعده مقابل به این راس آنها روی یک خط راست باشد، نسبت مساحت های آنها برابر با نسبت اندازه قاعده های آنهاست.

نکته: اگر دو مثلث، قاعده مشترکی داشته باشند و راس های رو به روی این قاعده آنها، روی یک خط، موازی این قاعده باشند، این مثلث ها هم مساحت اند.

واسطه هندسی

در این صورت، b را واسطه هندسی a و c می نامند.

قضیه تالس 

فرض میکنیم MN موازی با BC

عکس قضیه تالس نیز برقرار است.

فاضل مهرآئین _دانشجوی مهندسی مکانیک صنعتی شریف

پیروز و سربلند باشید