سلام دوستان ! ✋
در این مطلب قصد داریم بخش های ماتریس و کاربرد و مقاطع مخروطی را در قالب درسنامه و تست بررسی کنیم.
در این مطلب پنج تست از مبحث فوق قرار دادیم .
اگر سوالی از این مطلب دارید در قسمت کامنت ها بپرسید .
برای دریافت پاسخ تشریحی ، مطلب را از قسمت فایل های ضمیمه دانلود کنید.
برای ارتباط بیشتر با برترها و رزرو پشتیبان ویژه، رتبه برترهای کانون قلمچی را دنبال کنید،
همچنین می توانید با شماره ۰۲۱۸۴۵۱ داخلی ۳۱۲۳ تماس بگیرید.
ماتریس:
هر آرایش مستطیل شکل از اعداد حقیقی، که شامل تعدادی سطر و ستون است، یک ماتریس است. به هر عدد حقیقی واقع در هر ماتریس یک درایه آن ماتریس گفته می شود. ماتریسی که M سطر و N ستون دارد، ماتریس از مرتبه M * N (بخوانید M در N ) است. به عنوان مثال ماتریس A از مرتبه 3×2 است.
تعاریف :
ماتریس صفر ماتریسی است که تمام درایه های آن صفر است. ماتریس صفر با نماد O نشان داده می شود.
ماتریس سطری ماتریسی است که یک سطر دارد و در حالت کلی مرتبه آن N * 1 است.
ماتریس ستونی ماتریسی است که یک ستون دارد و در حالت کلی مرتبه آن M * 1 است.
ماتریس مربعی ماتریسی است که تعداد سطرها و ستون های آن با هم برابرند.
ماتریس قطری ماتریسی است که تمام درایه های آن جز درایه های واقع بر قطر اصلی صفر هستند. همچنین درایه های واقع بر قطر اصلی می توانند صفر باشند.
ماتریس زیر یک ماتریس قطری است.
ماتریس اسکالر نوعی ماتریس قطری است که درایه های واقع بر قطر اصلی آن با هم برابر هستند.
ماتریس واحد/همانی نوعی ماتریس اسکالر است که درایه های واقع بر قطر اصلی آن، همگی 1 هستند. ماتریس همانی از مرتبه n با ln نشان داده می شود.
برای آنکه 2 ماتریس مساوی باشند: لازم است دو شرط برقرار باشند:
اول آنکه هم مرتبه باشند، دوم آنکه درایه های آن ها نظیر به نظیر با هم برابر باشند. اگر دو ماتریس A و B برابر باشند، خواهیم نوشت : A=B
برای جمع یا تفریق 2 ماتریس هم مرتبه کافی است درایه های نظیر به نظیر آنها، با هم جمع یا از هم کم شوند.
برای ضرب یک عدد حقیقی در یک ماتریس، کافی است آن عدد در تک تک درایه های ماتریس ضرب شود. بدیهی است که ماتریس حاصل هر مرتبه با ماتریس اصلی می باشد. اگر بخواهیم ماتریسی را قرینه کنیم کافی است آن را در (1-) ضرب نماییم.
ضرب ماتریس A در ماتریس B به صورت AB نشان داده می شود. ضرب 2 ماتریس زمانی امکان پذیر است که تعداد ستون های ماتریس اول با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد. اگر ماتریس اول از مرتبه M*N باشد و ماتریس دوم از مرتبه N*P ، مرتبه ماتریس حاصل M*P خواهد بود. ضرب دو ماتریس به صورت سطر( از ماتریس اول) ضرب در ستون ( از ماتریس دوم) است.
توجه داشته باشید که به صورت کلی ضرب ماتریس ها خاصیت جابجایی ندارد.
خاصیت شرکت پذیری در ضرب ماتریس ها برقرار است: A(BC) = (AB)C
ماتریس همانی، عضوی خنثی در عمل ضرب محسوب می شود.
در حالت کلی اتحادهای جبری برای ماتریس ها برقرار نیستند.
دترمینان ماتریس مربعی A با |A| یا det(a) نشان داده می شود.
اگر ماتریس مد نظر 1*1 باشد، دترمینانش برابر با همان یک درایه اش است.
دترمینان یک ماتریس 3*3 به دو روش محاسبه می شود.
اگر مجموع اعداد سطر و ستون درایه هایی که ضریب هستند زوج باشد، از مثبت و اگر فرد باشد از منفی استفاده می شود.
بسط های بالا را برای ستون های ماتریس نیز می توان نوشت.
در محاسبه دترمینان بهتر است سطر یا ستونی انتخاب شود که درایه های صفر بیشتری دارد.
ویژگی های دترمینان
اگر عددی در دترمینان ضرب شود، این عدد فقط در یک سطر یا فقط در یک ستون ضرب می شود. همچنین در هر دترمینان، می توان از یک سطر یا ستون عددی را فاکتور گیری کرد و پشت دترمینان قرار داد.
اگر تمام درایه های یک سطر یا تمام درایه های یک ستون از یک ماتریس مربعی صفر باشند، مقدار دترمینان آن ماتریس برابر با صفر است.
وارون ماتریس
برای ماتریس مربعی A اگر ماتریس مربعی B وجود داشته باشد به طوری که AB=BA=I ،آن گاه A و B وارون پذیر هستند و هر کدام وارون دیگری است. اگر A ماتریس مربعی وارون پذیر باشد، آن گاه وارون منحصر به فرد است. برای ماتریس وارون پذیر A ، وارون آن را با A به توان 1- نشان می دهند.
وارون وارون هر ماتریس، خودش می شود.
آشنایی با مقاطع مخروطی
مکان هندسی:
مجموعه همه نقاطی از صفحه یا فضا که ویژگی مشترکی دارند، مکان هندسی این نقاط نامیده می شود. هر نقطه در این مجموعه این ویژگی مشترک را دارد و هر نقطه که این ویژگی مشترک را داشته باشد، عضو این مجموعه است.
مکان هندسی های معروف
1) مکان هندسی نقاطی از صفحه که از یک نقطه ثابت به یک فاصله ثابت باشند، یک دایره است.
2) مکان هندسی نقاطی از فضا که از یک نقطه ثابت به یک فاصله ثابت باشند، پوسته یک کره است.
3) مکان هندسی نقاطی از صفحه که از دو نقطه ثابت به یک فاصله هستند، عمود منصف پاره خط واصل آن دو نقطه است.
4) مکان هندسی نقاطی از فضا که از دو نقطه ثابت به یک فاصله هستند، صفحه عمود منصف پاره خط واصل آن دو نقطه است.
5) مکان هندسی نقاطی از صفحه که از سه نقطه غیر واقع بر یک خط راست به یک فاصله باشند، یک نقطه است. بدین معنا که فقط یک نقطه با این ویژگی وجود دارد. این نقطه، همان محل برخورد عمود منصف های اضلاع مثلث یا مرکز دایره محیطی مثلث است.
6) مکان هندسی نقاطی از صفحه که از یک خط به یک فاصله ثابت باشند، دو خط موازی با آن خط در طرفینش است.
7) مکان هندسی نقاطی از فضا که از یک خط به یک فاصله ثابت باشند، سطح جانبی یک استوانه با محوری نامتناهی است. به عبارتی، ارتفاع این استوانه نامتناهی است.
8) مکان هندسی نقاطی از فضا که از یک صفحه به فاصله مشخصی باشند، دو صفحه موازی با آن صفحه است.
9) مکان هندسی نقاطی از صفحه که از دو ضلع یک زاویه به یک فاصله اند، نیمساز آن زاویه است.
10) مکان هندسی نقاطی از صفحه که از دو خط متقاطع به یک فاصله اند، نیمسازهای زوایای تشکیل شده توسط دو خط است. این دو نیمساز بر هم عمود هستند.
11) مکان هندسی نقاطی از صفحه که از دو خط موازی به یک فاصله هستند، خطی موازی با آن دو خط است.
8) مکان هندسی نقاطی از فضا که از دو صفحه موازی به فاصله مشخصی باشند، صفحه ای موازی با آن صفحه (میان دو صفحه) است.
اگر در شرایطی که a= 90 نیست و خط L ثابت است، خط D در فضا دوران داده شود، یک رویه مخروطی ایجاد می شود. این رویه از هر دو طرف نامتناهی است.
یادآوری هندسه یازدهم:
وضعیت دو دایره نسبت به یکدیگر :
