در این مطلب قصد داریم بخشی از درس یک هندسه دهم که از مباحث آزمون 21 آبان هست را مرور و جمع بندی کنیم.
 |
چند ضلعی محدب است که اگر هر خطی را که ضلعی از چند ضلعی روی آن افتاده است رسم کنیم، بقیه نقطه های چند ضلعی در یک طرف آن واقع شوند. هر چند ضلعی که محدب نباشد، مقعر نامیده می شود.
شکل به وجود آمده از از به هم وصل کردن وسط های اضلاع مجاور در یک چهار ضلعی محدب همیشه یک متوازی الاضلاع است.
اضلاع این متوازی الاضلاع با قطر های چهار ضلعی اولیه موازی اند و اندازه آن ها برابر نصف طول قطر ها است.
متوازی الاضلاع
1. متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که هر دو ضلع مقابل آن موازی اند.
2. هر قطر متوازی الاضلاع آن را به دو مثلث همنهشت تقسیم می کند. اگر هر یک از قطرهای چهار ضلعی آن را به دو مثلث همنهشت تقسیم کند، این چهار ضلعی متوازی الاضلاع است.
3. در هر متوازی الاضلاع، ضلع های مقابل هم اندازه اند و بالعکس
4. در هر متوازی الاضلاع، هر دو زاویه مجاور مکمل اند ( هر دو زاویه مقابل هم اندازه اند). هر چهارضلعی که هر دو زاویه مجاور آن مکمل اند ( هر دو زاویه مقابل آن هم اندازه اند)، متوازی الاضلاع است.
5. در هر متوازی الاضلاع، قطرها یکدیگر را نصف می کنند و بالعکس
6. مساحت متوازی الاضلاع S = a.Ha = ab sin(M)
مستطیل
1. مستطیل چهار ضلعی است که همه زاویه هایش قائمه اند. اگر چهار ضلعی، همه زاویه هایش قائمه باشند، آنگاه مستطیل است.
2. هر مستطیل یک متوازی الاضلاع است، در نتیجه تمام ویژگی های آن را داراست.
3. می توان مستطیل را به این صورت تعریف کرد: مستطیل، متوازی الاضلاعی است که یک زاویه قائمه دارد.
4. در هر مستطیل قطرها برابرند.
5. اگر متوازی الاضلاعی دو قطر برابر داشته باشد، مستطیل است.
یک نکته از مثلث قائم الزاویه
در هر مثلث قائم الزاویه، طول میانه وارد بر وتر، نصف طول وتر است.
عکس این مطلب نیز درست است.
لوزی
1. لوزی چهار ضلعی است که طول هر چهار ضلع آن برابر است.
2. لوزی یک متوازی الاضلاع است، در نتیجه تمام ویژگی های آن را داراست.
3. لوزی متوازی الاضلاعی است که دو ضلع مجاور برابر دارد.
4. در لوزی قطرها نیمساز زوایا هستند.
5. در لوزی قطرها بر هم عمودند.
مربع
1. مربع چهار ضلعی است که هر چهار ضلع آن برابرند و حداقل یک زاویه آن قائمه است.
2. مربع لوزی است، در نتیجه تمام ویژگی های آن را داراست.
3. مربع مستطیل است، در نتیجه تمام ویژگی های آن را داراست.
4. مربع، لوزی است که مستطیل است.
ذوزنقه
1. ذوزنقه چهار ضلعی است که فقط دو ضلع آن موازی هستند و دو ضلع دیگر آن حتما ناموازی هستند.
2. در ذوزنقه دو ضلع موازی را قاعده، و دو ضلع ناموازی را ساق گویند.
3. اگر ذونقه ای دو ساق برابر داشته باشد، ذوزنقه متساوی الساقین نامیده می شود.
4. اگر یکی از ساق ها بر دو قاعده عمود باشد، ذوزنقه قائم الزاویه نامیده می شود.
5. در هر ذوزنقه، زاویه های مجاور به یک ساق مکمل اند.
6. در هر ذوزنقه متساوی الساقین، زاویه های مجاور به یک قاعده برابرند و بالعکس.
7. در هر ذوزنقه متساوی الساقین قطرها برابرند و بالعکس.
دستور مثلثاتی مساحث مثلث
S=1/2(AB)(BC)SinB
هر میانه، مساحت مثلث را به دو نیمه مساوی تقسیم می کند. در نتیجه با رسم هر سه میانه مساحث مثلث به شش قسمت مساوی تقسیم می شود.
در هر مثلث اگر از نقطه همرسی میانه ها به سه راس مثلث وصل کنیم، سه مثلث با مساحت برابر به وجود می آیند.
مساحت هر چهار ضلعی
S=1/2(AC)(BD)SinP
