دایره - هندسه یازدهم - نکات درسی - فاضل مهرآئین

در این مطلب قصد داریم درس یک هندسه یازدهم را که در آزمون 9 مهر تست داده می شود را مرور و جمع بندی کنیم.  

دوستان عزیزم ما تصمیم گرفتیم برای این که بتونیم ارتباطمون رو با هم بیشتر کنیم و قدم به قدم کنارتون باشیم، صفحه اینستاگرام رتبه برترها رو بسازیم و همراهتون باشیم

رتبه برترها

فاضل مهرآئین _ دانشجوی مهندسی مکانیک صنعتی شریف

مفاهیم اولیه

 دایره : مجموعه نقاطی از صفحه که از نقطه ی ثابتی در همان صفحه به فاصله ثابت باشند دایره میگوند.دایره به مرکز و شعاع را با نماد نشان میدهند.
وضعیت نسبی نقطه و دایره : نقطه میتواند داخل خارج و یا روی دایره باشد.
وضعیت نسبی خط و دایره : خط میتواند در دو نطقه ویا یک نقطه و یا هیچ نقطه با دایره متقاطع باشد.
زاویه مرکزی : زاویه ای که راس ان مرکز دایره است و دو ضلع ان شعاع های دایره است و اندازه ی ان با کمان رو به رویش برابر است.
 قطاع : ناحیه ای از دایره که به دو شعاع محدود است.

چند نکته :

 1) اگر در دایره ای دو وتر مساوی باشند زاویه های مرکزی نظیر انها نیز باهم برابر است و بلعکس

2) خطی که از مرکز دایره بر وتری از همان دایره عمود میشود وتر و کمان نظیر ان را نصف میکند و بلعکس

3) اگر در دایره دو وتر نابرابر باشند وتری بزرگ تر است که به مرکز دایره نزدیک تر باشد و بلعکس.
 

4) در شکل مقابل داریم :

حالات مختلف نقطه و دایره : 

 اگر از یک نقطه فرضی به مرکز دایره وصل کنیم تا دایره در دو نقطه قطع شود : 

طول کمان و مساحت قطاع بر حسب درجه :

طول کمان و مساحت قطاع بر حسب رادیان :

زاویه محاطی : زاویه ای که راس ان روی محیط داریه و دو ضلع ان وتر هایی از دایره اند که اندازه ان نصف کمان مقابلش است.زاویه محاطی مقابل قطر قائم است.

چند نکته: 

1) اگر در دایره ای دو وتر موازی باشند کمان ها نظیر انها با هم برابر است و بلعکس.
 2)اگر وتری از دایره با خطی که بر دایره مماس است برابر باشد کمان های نظیر انها نیز باهم برابر است و بلعکس.
3)زاویه ظلی : زاویه ای که راس ان روی محیط دایره و یک ضلعش وتری از دایره و ضلع دیگرش بر دایره مماس باشد که اندازه ان نصف کمان رو به رویش است.
 4)زاویه درونی دایره : دو وتر از دایره بکدیگر را درون دایره قطع کنند.
 5)زاویه بیرونی دایره : دو وتر از دایره یکدیگر را خارج دایره قطع کنند.

 قضیه وتر های متقاطع : هرگاه وتر هایی از دایره در نقطه ای داخل یا خارج دایره متقاطع باشند داریم و بلعکس

 قضیه : طول مماس واسطه هندسی بین دو قطعه قاطع است و بلعکس.
 اگر از خارج دایره ای دو مماس بر دایره رسم کنیم دومماس باهم برابر هستند .
 پاره خط OM نیمساز زاویه بین دو مماس است.

نکته:   

 چند ضلعی محاطی : اگر دایره ای وجود داشته باشد که از همه ی راس های یک چند ضلعی بگذرد آن چند ضلعی را محاطی میگویند.که عمود منصف های تمام اضلاع ان در مرکز دایره محیطی همرس اند.
چند ضلعی محیطی : اگر دایره ای وجود داشته باشد که بر تمام اضلاع یک چند ضلعی مماس باشد آن چند ضلعی را محیطی میگویند که نیم ساز تمام زاویه های داخلی ان در مرکز دایره محاطی همرس اند.

 دایره محیطی مثلث :( قضیه سینوس ها )

دایره محاطی داخلی مثلث :

دایره محاطی خارجی مثلث : 

دایره های محیطی و محاطی چهارضلعی ها 

 1) در هر چهارضلعی محیطی مجموع دو ضلع مقابل برابر مجموع دو ضلع دیگر است و برابر نصف محیط چهارضلعی است و بلعکس

2) در هر چهارضلعی محاطی هر دو زاویه مقابل مکمل اند و بلعکس

3) اگر ذوزنقه ای متساوی الساقین باشد انگاه محاطی است و بلعکس

چند ضلعی منتظم : یک چند ضلعی که تمام زاویه ها و اضلاعش با هم برابر باشد . تمام چند ضلعی های منتظم هم محاطی هستند و هم محیطی.

تست ها

در شکل زیر اندازه AM کدام است؟ 

1)   2
 2)   2.25
 3)   2.5
 4)    2.75 

در شکل زیر از دو نقطه خارج دایره دو مماس به دایره رسم کردیم اگر پاره خط CD برابر شعاع دایره باشد زاویه EDF چند درجه است؟

 1) 25
 2) 30
 3) 35
 4) 40

پاسخ تست ها در فایل ضمیمه آورده شده است.