نظریه اعداد (ریاضیات گسسته) - آموزش و تست - علی شبستری

سلام دوستای کنکوری عزیز ... امیدوارم باانرژی و سرحال باشید. 💪🏻

من علی محمدزاده شبستری هستم، رتبه 13 منطقه 1 کنکور ریاضی 1401. 🌷
یک درس‌نامه مربوط به درس ریاضیات گسسته ، برای بچه‌های دوازدهم ریاضی، آماده کردم. که شامل آموزش کامل درس با زبان خودمونی و آسون + بیان همه نکات مهم و مفید و حتی پیشرفته + کلی مثال با جواب بعد از هر مطلب + کلی تست هست. خلاصه امیدوارم با مطالعه و بررسی این درس‌نامه، ضمن علاقه‌مند شدن بیشتر به درس جذاب ریاضیات گسسته، بتونید به بهترین و کامل‌ترین سطح در این مباحث برسید. در این صفحه فقط بعضی از مطالب قرار داده شده، به فایل اصلی مراجعه بفرمایید.

🔸 مباحث این قسمت : فصل 1، درس 1 (استدلال ریاضی)- فصل 1، درس 2 (بخش‌پذیری در اعداد صحیح)
‼️ حتما فایل کامل رو از قسمت ضمیمه دانلود کنید. اگه مطالب براتون مفید بود، حتما در قسمت کامنت بنویسید که از قسمت‌های بعدی براتون ویدیوی حل تست‌های ریاضیات گسسته رو قرار بدم. 🙂🙏🏻

ما در روز بارها استدلال می‌کنیم. نوع و کیفیت استدلال بر زندگی فردی و اجتماعی ما تأثیرهای بزرگی می‌ذاره. اصولاً استدلال یکی از نیازهای مهم به حساب میاد...

ریاضی بر پایه منطق و استدلال استواره. اگه در یادگیری ریاضی، استدلال را بلد نباشیم، صرفاً داریم یه سری مطالبو حفظ می‌کنیم، بدون اینکه بفهمیم چرا ؟! راستی، ارائۀ دو سه تا مثال درست برای یک حکم، اثبات حساب نمی‌شه!!

در این درس با چند روش استدلال و  اثبات در ریاضی (استدلال استنتاجی) آشنا می‌شیم. چون در ادامۀ مباحث بسیار نیاز داریم.

■اثبات مستقیم

■اثبات غیرمستقیم (برهان خلف)

■اثبات با در نظر گرفتن همۀ حالت‌ها (اشباع)

■اثبات‌های بازگشتی / گزاره‌های هم‌ارز

■اثبات نادرستی با مثال نقض

 اثبات مستقیم

ما در اثبات مستقیم – همونطور که از اسمش پیداست – سعی می‌کنیم با یک سری نتیجه‌گیری‌ها ، از فرض شروع کنیم و به طور مستقیم به حکم برسیم.

برای اثبات یک گزاره به روش اثبات مستقیم، باید ابتدا اون گزاره را به زبان ریاضی بنویسیم. مثلاً اینجوری 👇

یک مثال ببینیم ...

--------------

 اثبات غیرمستقیم (برهان خلف)

ما گاهی وقتی داریم با کسی بحث می‌کنیم، و می‌خوایم ثابت کنیم حرفش اشتباهه، بهش می‌گیم که :

"  گیریم حرفی که شما می‌زنید درست باشه، اون وقت ... "

و بعد به یک تناقض یا نادرستی آشکار می‌رسیم! حالا برمی‌گردیم به اول و ثابت می‌کنیم که حرفش درست نبود! چون اگه درست باهش، به تناقض یا نادرستی آشکار می‌رسیم. ** یک ابزار قدرمتند در استدلال **

زمانی که اثبات مستقیم با داده‌ها و حقایق سخت یا نشدنی باشه، از برهان خلف کمک می‌گیریم. به این شکل که ثابت می‌کنیم خلاف حکم نادرسته. پس خود حکم درست بوده ... مثلاً به دنبال یک مسیر امن هستیم. یک نفر یک مسیر ناامن پیشنهاد می‌کنه ولی ادعا داره که امنه. برای ثابت کردن ناامن بودن مسیرش (حکم)، بهش می‌گیم: باشه، فرض می‌کنیم مسیر شما امنه (فرض خلف).  بعد بهش نشون می‌دیم که داخل مسیر شما سه تا پیج غیراستاندارد و دو مسیر بسیار باریک در ارتفاع وجود داره! پس این با امن بودن مسیر در تناقضه! پس فرض خلف باطله و حکم اثبات می‌شه!

در اثبات به روش برهان خلف، از هم‌ارزی عکس نقیض استفاده می‌کنیم.

---------------

 اثبات با در نظر گرفتن همه حالت‌ها (اشباع)

ما در اثبات مستقیم، حکم را به طور کلی برای همه مقادیر و حالات ، و در یک بار اثبات می‌کنیم. به عبارت دیگه یک اثبات جامع برای همه حالاتش داریم. منظور از حالات مثلاً زوج یا فرد بودن اعداده. مثلاً ما ثابت کردیم اگر k حاصل‌ضرب دو عدد طبیعی متوالی باشد، آنگاه 4k+1 مربع کامل است. اینجا ما در یک بار اثبات، حکم را هم برای k زوج و هم برای k فرد اثبات کردیم.

اما گاهی سخته که یک بار اثبات جامع برای همه حالات انجام بدیم. و میایم حالت‌بندی می‌کنیم. برای راحتی کار، یک بار عدد را به شکل زوج در نظر می‌گیریم و یک بار به شکل فرد. و هر کدوم را اثبات می‌کنیم. و در نهایت حکم برای همۀ حالات اثبات می‌شه.

در اثبات به روش در نظر گرفتن همه حالت‌ها، از این هم‌ارزی استفاده می‌کنیم : 

فرض کنیم p یعنی عدد زوج باشه. و q یعنی عدد فرد باشه. برای اثبات کلی حکم در حالتی که عدد زوج یا فرد باشه، باید ثابت کنیم اگه زوج باشه حکم درسته، و اگه فرد باشه حکم درسته.

---------------

اثبات نادرستی با مثال نقض

تقریباً همه ما با این روش شیرین آشنا هستیم و خیلی هم زیاد استفاده می‌کنیم. معمولاً هم آسونه. معمولا! گاهی سال‌ها طول می‌کشه تا مثال نقض برای یک حکم پیدا بشه!

یادمون باشه ما با مثال نقض درستی چیزی رو اثبات نمی‌کنیم. اتفاقاً نادرستیشو اثبات می‌کنیم!

در این بخش مطلب زیاد و مهمی برای گفتن نیست. اما خوبه دوتا نکته اضافی را ببینیم : 

• اعداد طبیعی به صورت « دو به توان n » را نمی‌تونیم به صورت مجموع اعداد طبیعی متوالی بنویسیم.

• اعداد طبیعی به صورت « 8k+7 » را نمی‌تونیم به صورت مجموع مربع کامل سه عدد بنویسیم.

ما تا حالا از مفهوم «بخش‎پذیری» خیلی استفاده کردیم. مثلاً می‌گفتیم 48 بر 16 بخش‌پذیره. و در واقع منظور از بخش‌پذیری اینه که در تقسیم، باقی‌مانده نداشته باشیم (باقی‌مانده صفر باشه). حالا دوباره می‌خوایم همین مفهوم را پر و بال بدیم و با مفاهیم جدیدتری آشنا بشیم. 

ما بخش‌پذیری را علاوه بر اعداد طبیعی، به طور کلی در اعداد صحیح ( یعنی حتی اعداد صحیح منفی) هم داریم. در مثال عددی خط اول می‌تونیم بگیم 48 بر 16- بخش‌پذیره.

حالا یک بیان جدید را جایگزین می‌کنیم. بجای مصدر «بخش‌پذیر بودن» از مصدر «عاد کردن» استفاده می‌کنیم. البته جایگاه دوتا عدد عوض می‌شه. یعنی چی !؟ جدول را ببینید.

• پس عبارت « عاد می‌کند » یعنی شمارندۀ آن است (مقسوم‌علیه آن است).

تعریف جامع عاد کردن که در کتاب درسی اومده رو می‌بینیم.

حالا چند نکته مقدماتی درباره رابطۀ عاد کردن ببینیم. بعدش با ویژگی‌های رابطۀ عاد کردن و کارایی که می‌تونیم روش انجام بدیم آشنا بشیم.

همونطور که گفتیم علامت در عاد کردن تأثیر نداره. یعنی اگه a|b ، در نتیجه:

---------------

ویژگی‌های رابطۀ عاد کردن

قبل از شروع این قسمت، بیاید یه قرار بذاریم. به قسمت راست رابطۀ عاد کردن بگیم چاق. و به قسمت چپ بگیم لاغر...

• می‌تونیم چاق را چاق‌تر، و لاغر را لاغرتر کنیم.

منظور از چاق کردن یعنی ضرب کردن عدد یا به توان رسوندن هست. منظور از لاغر کردن یعنی تقسیم بر یک عدد یا کاهش توان هست.

می‌تونیم قسمت لاغر را لاغرتر کنیم... راستی مشکلی نیست که همزمان چاق را چاق‌تر و لاغر را لاغرتر کنیم...  🙂👍🏻

• به علاوه اینکه می‌تونیم هردو را باهم به یک شکل چاق‌تر یا لاغرتر کنیم.

// ادامه ویژگی‌ها را در فایل جزوه ببینید //

اما دوتا تست ( برای حل این تست‌ها باید به بقیه ویژگی‌های عاد کردن تسلط داشته باشید)

شما می‌تونید با مراجعه به فایل جزوه، مطالب آموزشی مربوط به اعداد اول و ب.م.م را هم بخونید. در اینجا یک قسمت برگزیده از ب.م.م را آوردم.

  محاسبه ب.م.م

محاسبه ب.م.م عبارات عددی : برای محاسبۀ ب.م.م اعداد، تمام اونا رو به عوامل اول تجزیه کنید. حالا ب.م.م برابره با حاصل‌ضرب پایه‌های مشترک با کم‌ترین توان (یعنی از بین پایه‌های مشترک، اونایی که توان کم‌تری دارن را انتخاب می‌کنیم)

محاسبه ب.م.م عبارات پارامتری : فرض کنید دو عبارت پارامتری به صورت f(n) و g(n) به ما داده‌شده و می‌خوایم ب.م.م این‌دو را پیدا کنیم. به ترتیب گام‌های زیر را طی می‌کنیم.

1- فرض کنیم ب.م.م چیزی مثل d باشه. و بنویسیم d|f(n) و d|g(n) .

2- با ویژگی ترکیب خطی در رابطۀ عاد کردن، سعی کنیم n را حذف کنیم تا به یک عدد مثل a برسیم.

3- در نهایت خواهیم داشت d|a . و d از مقسوم‌علیه‌های a هست.

4- جواب نهایی را کنترل کنیم.

در اسلاید بعدی یک مثال باهم حل می‌کنیم و یک نکته کاربردی هم یاد می‌گیریم.

---------------

  قضیۀ تقسیم

ما تا اینجای فصل، درباره بخش‌پذیری مطالعه داشتیم و با مسائلی سر و کار داشتیم که باقی‌مانده در اونا صفر بود. اما از اینجا تا انتهای فصل به طور مفصل درباره باقی‌مانده در تقسیم بحث می‌کنیم.

برای شروع، با قضیۀ تقسیم شروع می‌کنیم. ما وقتی برای اولین بار تقسیم (موسوم به تقسیم چکشی) را در دبستان یاد گرفتیم، در واقع همون شکل اصلی قضیۀ تقسیم را هم یاد گرفتیم. فقط عنوان قضیۀ تقسیم را براش نذاشته بودیم. الان همون تقسیم چکشی را با پارامتر بررسی می‌کنیم.

چیزی که در تصویر روبه‌رو مشاهده می‌کنید کل قضیۀ تقسیم و هرآنچه برای حل سؤالات لازم داریمه! 

فقط یک نکته توجه داشته باشید که مقسوم می‌تونه عدد صحیح منفی هم باشه. اما مقسوم‌علیه باید مثبت باشه.

بسیاری از سؤالات با نوشتن قضیۀ تقسیم که در کادر اومده حل می‌شن. در مواردی هم توجه به نامساوی باقی‌مانده راه‌گشاست.

به طور کلی خارج قسمت تقسیم a بر b برابره با [a/b] . (نماد جزء صحیح)

/// دانش‌آموزان عزیز، نکته‌ها و آموزش‌ها و تست‌های بیشتری را از داخل فایل جزوه استفاد کنید. بعضی از تیترها و مباحث به دلیل محدودیت فضا، در این مطلب آورده نشده. یادتون نره کامنت بذارید و اگه دوست دارید حل ویدیویی سؤالات را هم داشته باشید، کامنت بذارید و بگید ///

✌🏻 با آرزوی موفقیت برای همه ✌🏻

برای ارتباط بیشتر با برترها و رزرو پشتیبان ویژه، پیج اینستاگرام و کانال تلگرام کانون برترها را دنبال کنید، 

همچنین میتونید با شماره ۰۲۱۸۴۵۱ داخلی ۳۱۲۳ تماس بگیرید.

پیج اینستاگرام	کانال تلگرام کانون برترها