سلام به همه بچه‌های علاقمند به کامپیوتر و برنامه‌نویسی و هوش مصنوعی. همانطور که میدونین روز به روز دنیای هوش مصنوعی داره وسیعتر میشه و به حوزه مختلف از علوم راه یافته است. ما تصمیم داریم هر هفته با یک مقاله در این حوزه، شمارو با رویداد های دنیای هوش مصنوعی آشنا کنیم و مهمتر اینکه ریاضیات این حوزه رو با ساده سازی به شما دانش آموزان عزیز کانونی توضیح بدیم. در نهایت بتونیم قدم به قدم به کد نویسی در محیط پایتون برای مسئله های جذاب هوش مصنوعی برسیم. پیشنهاد میکنم هر هفته مارو با یک مقاله در این حوزه دنبال کنید.
در مقاله هفته قبل، مقدمه ای از الگوریتم مدل فضای برداری رو براتون شرح دادیم و به کاربردهای این الگوریتم در جهان امروزی اشاره کردیم. همانطور که یادتون هست، هدف نهایی ما در الگوریتم مدل فضای برداری این بود که نرم افزار و یا ماشینی طراحی کنه که بتونه نزدیکی دو جمله از لحاظ معنی با همدیگر رو به صورت هوشمندانه تشخیص بده. اما بیان کردیم که این عمل، فرایند نسبتا پر چالشی برای ماشین هست؛ چون دو جمله میتونه دارای اشتراک لغوی زیادی باشه، ولی معنی هاشون کاملا فرق داشته باشند ؛ یا از سوی دیگه، هیچ اشتراک لغوی نداشته باشه اما معنی های برابری داشته باشند. در جلسه قبل، روش مدل سازی نزدیکی موضوعی یک کلمه با کلمه های دیگه رو برای ماشین بررسی کردیم.
در ادامه، قصد داریم مدل سازی های دیگه ای مانند مدل سازی کلمات رو با متون و مقالات و اسناد بررسی کنیم. اما قبل از اینکه بریم سراغ این مدل سازی ها، ابتدا باید یک سری مطالب رو در ریاضیات مرور کنیم. چون همانطور که می دونید، پایه و اساس بسیاری از الگوریتم ها با ریاضیات پیوند خورده . برای مثال، در الگوریتم بیز ساده که در جلسات قبل با همدیگه مرور کردیم، کاربرد مفهوم احتمالات شرطی رو در شکل گیری این الگوریتم دیدیم. در الگوریتم فضاهای برداری هم، قصد داریم اطلاعات رو به شکل بردارهایی در فضاهای مختصات مدل سازی کنیم. از این رو، نیاز هست تا مفاهیمی همچون فضاها و میدان های برداری و دستگاه های مختصات رو با همدیگه مرور کنیم و ببینیم که چطور این مفاهیم ساده به دنیای هوش مصنوعی راه پیدا کردند و پیشرفت های زیادی رو در عرصه تکنولوژی رقم زدند. پس در این جلسه، هدفمون بررسی مفاهیم ریاضی ذکر شده است.
فضای برداری
در ریاضیت، فضای برداری یا فضای خطی به دسته ای از بردارها گفته می شه که در یک میدان برداری، اعمال جبری مثل جمع برداری ، تفریق برداری ، ضرب نرده ای و غیره در اون فضا انجام میگیره؛ به شرط اینکه اصول پنجگانه هندسه اقلیدسی در اون میدان رعایت شود. لازم به یادآوری هست که اصول هندسه اقلیدسی، پنج اصل ساده و بدیهی هستند که همه قضایای هندسه اقلیدسی از اونها استخراج شده . این 5 اصل بیان می کنه :
- اصل اول: هر دو نقطه یک خطِ منحصر به فرد را مشخص می‌سازد.
- اصل دوم: هر پاره‌خط را می‌توان تا بینهایت رویِ خطِ راست امتداد داد.
- اصل سوم: با یک نقطه به عنوانِ مرکز و یک پاره‌خط به عنوانِ شعاع می‌توان یک دایره رسم نمود.
- اصل چهارم: همه زوایایِ قائمه با یک دیگر قابل انطباق‌اند
- اصل پنجم به ازای هر خط L و نقطه P غیر واقع بر آن، تنها یک خط مانند M وجود دارد چنانچه از P می‌گذرد و با L موازی است. (اصل توازی اقلیدسی)
به غیر از اصل پنجم ، چهار اصل دیگه بدیهی به نظر می‌رسند. اصل پنجم به اصل توازی اقلیدسی معروف هست که ریاضی دانی به اسم جان پلیفر اون رو به شکل ساده اینگونه بیان می کند که : از یک نقطه خارج یک خط، فقط یک خط به موازات آن می توان کشید. برای مثال، در شکل زیر می بینید که از نقطه A فقط میشه یک خط موازی با نام P’ برای پاره خط زیر رسم کرد.
در کل، این پنج اصل ساده ما رو میرسونه به مجموعه ای از بردارها که مقیاس پذیر هستند و قابلیت جمع شدن و اعمال ریاضیاتی رو با همدیگه دارند. شکل زیر یک فضای برداری را نشان می دهد. البته باید توجه داشت که مجموعه از بردارها با همدیگر به تنهایی یک فضای برداری نیستند، بلکه زمانی به عنوان یک فضای برداری تعریف می شوند که در یک میدان برداری (Vector Field) تعریف شده باشند.
میدان برداری
میدان برداری در ریاضیات و فیزیک، تابعی است که به هر نقطه از فضای اقلیدسی، برداری را نسبت می دهد. میدان های برداری، در طبیعت نیز وجود دارند. برای مثال میدان گرانشی و میدان مغناطیسی. در فیزیک ، میدان برداری برای مدل سازی راستای حرکت و سرعت ذرات به کار می رود. در یادگیری ماشین و در الگوریتم فضای برداری نیز با الگو برداری از میدان های برداری، اطلاعات را با بردارهایی در فضا مدل سازی می کنند و به آن ها بردارهایی نسبت می دهد.
به زبان ریاضیات، یک میدان برداری، در نگاشتی چون است که به هر نقطه ای مانند برداری را نسبت می دهد. برای مثال، یک میدان برداری در فضای دو بعدی یا سه بعدی، تابعی مانند است که به هر نقطه همچون () یا () برداری مانند یا را به ما میدهد. یک فضای برداری دو بعدی و یک فضای برداری سه بعدی را در شکل زیر مشاهده می کنید.
برای بیان بردارها، از دستگاه های مختصات استفاده می گردد. دو نوع رایج دستگاه مختصات وجود دارد که بسته به نحوه نمایش متغیرها، نام گذاری میشوند . این سه دستگاه عبارت اند از:
- دستگاه مختصات دکارتی یا کارتزینی
این دستگاه مختصات برای زمانی است که ما می خواهیم یک نقطه یا بردار رو با سه محور طول، عرض، ارتفاع و یا به عبارتی با x , y و z نمایش میدهیم.
- دستگاه مختصات قطبی
دستگاه مختصات قطبی یک دستگاه مختصات دوبعدی است که در آن مکان هر نقطه، با فاصله آن تا مرکز مختصات (r) و زاویه بین خط رسم‌شده از مرکز به آن نقطه و محور طول (θ) مشخص می‌شود. این دستگاه در سه بعد به دستگاه مختصات استوانه‌ای و دستگاه مختصات کروی تبدیل می‌شود. جالب است بدانیم که اولین استفاده مشابهی که به ایجاد این دستگاه کنونی انجامیده، توسط ابوریحان بیرونی انجام گرفته است. در شکل زیر، نحوه نمایش دو بعدی یک نقطه را در دستگاه مختصات قطبی را مشاهده می کنیم :
در الگوریتم مدل فضای برداری، از دستگاه مختصات کارتزین یا دکارتی استفاده می کنیم . برای همین، از توضیحات بیشتر در مورد مختصات و بردار ها در فضای قطبی صرف نظر میکنیم.
یک میدان برداری دو بعدی در مختصات کارتزین به صورت زیر نمایش داده می شود:
یک میدان برداری سه بعدی در مختصات کارتزین نیز به صورت زیر نمایش داده می شوند :
توجه داشته باشید که متغیر های ما ممکنه صرفا یک نقطه نباشه و ما با مجموعه ای از نقاط در قالب یک ماتریس برای هر متغیر طرف باشیم.
خب پس ما در این جلسه، سه تا مفهوم فضای برداری، میدان برداری و دستگاه های مختصات رو با همدیگر مرور کردیم تا برسیم به نحوه نمایش یک میدان برداری در دستگاه مختصات دکارتی. در جلسه آینده قصد داریم از طریق همین مفاهیم ریاضی بیان شده، به مدل سازی های مختلفی که توسط الگوریتم مدل فضای برداری در یادگیری ماشینی استفاده میشه، بپردازیم . پس با ما همراه باشید ..
دوستان عزیزم؛ برای ارتباط با برترها و رزرو پشتیبان ویژه پیج کانون برترها را دنبال کنید.
همچنین میتوانید با شماره 0218451 داخلی 3123 تماس بگیرید.
