اکثر نظام‌هاي عيني طبيعت و بسياري از مصنوعات بشري در چارچوب اشکال هندسي منتظم و يکدست هندسه اقليدسي نمي‌گنجند.
هندسه اقليدسي با همه معيارهايش در برابر تعريف نظام‌هاي طبيعي و مصنوعي جهان حرفي براي گفتن ندارد، اما از آن طرف هندسه فراکتالي راه‌هاي تقريبا نامحدودي را براي توصيف، اندازه‌گيري و پيش‌بيني پديده‌هاي طبيعي در آستين دارد.
فراکتال‌ها در بسياري از ساختارهاي طبيعي مثل برف‌دانه‌ها، کوه‌ها، ابرها، ريشه، تنه و برگ درختان، رويش بلورها در سنگ‌هاي آذرين، شبکه آبراه‌ها و رودخانه‌ها، رسوبگذاري الکتروشيميايي، رويش توده باکتري‌ها و سيستم عروق خوني، DNA و... ديده مي‌شوند و با آنها مي‌توان پديده‌هاي طبيعي بسياري را تشريح، تفسير و پيش‌بيني کرد. بسياري از عناصر مصنوع دست بشر نظير تراشه‌هاي سيليکوني، منحني نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها نيز از قوانين فراکتالي پيروي مي‌کنند.
اين شکل‌هاي هندسي زيبا به واسطه سازگاري پويا و جاذبه غريبي که در ارتباط ميان خود و محيط پيرامونشان ايجاد مي‌کنند از نوعي نظم دقيق در عين بي‌نظمي برخوردارند و پتانسيل شگفت‌آوري را براي عوض کردن ديدگاه و تفسير ما از پديده‌هاي عالم و نقش بنيادي رياضيات براي توصيف و توضيح جهان در خود نهفته دارند.
هندسه فراکتال، مرزهاي درک و استنباط بشر از رياضيات را که به عنوان کالبدي از فرمول‌هاي پيچيده و ملال‌آور در اذهان تعريف شده است، فراتر مي‌برد و با تلفيق هنر و رياضيات بوضوح نشان مي‌دهد معادلات رياضي چيزي بيشتر از مجموعه‌اي از اعداد هستند.
شايد سودمندي مفاهيم رياضي براي ايفاي چنين نقش مهمي، موهبت خدادادي بي‌نظيري است که آنچنان که شايسته بوده درکش نکرده‌ايم. آيا با اين اوصاف، تعريف کردن کل جهان با استفاده از معادلات رياضي امکان‌پذير است؟
هندسه بعد چهارم يا هندسه طبيعت
بنوا مندل‌برو (1389ـ1303) پدر هندسه فراکتالي، مبدع واژه فراکتال و کاشف مجموعه مندل‌برو است که تقريبا مادر تمام فراکتال‌ها محسوب مي‌شود.
مندل‌برو در نوجواني، آموزش و تعليمات رسمي منظمي‌کسب نکرد و به گفته خودش هيچ‌گاه نتوانست الفبا و جدول ضرب را درست و حسابي فرا بگيرد، اما در عين حال در برخي حوزه‌هاي زبان‌شناسي، نظريه بازي‌ها و احتمالات، دانش هوانوردي ، مهندسي ، علم اقتصاد، فيزيولوژي، جغرافيا، نجوم و صد البته فيزيک کارشناس و خبره بود.
مندل برو از دانش پژوهان مشتاق تاريخ علم نيز بود و از همه مهم‌تر جزو نخستين رياضيدانان جهان به لحاظ دسترسي به رايانه‌هاي پر سرعت محسوب مي‌شود.
بنوا مندل‌برو کشفيات بزرگ خود را با سرپيچي و تمرد از قدرت حاکم زمانه يا همان رياضيات آکادميک صورت داد. در گذشته، علوم و رياضيات بر محور نظام‌هاي محدودي در سه بعد نخست يا همان خط، سطح و فضا دور مي‌زدند که ظاهرا با جهان واقعي و مختصاتش که بعد چهارم گفته مي‌شد ميانه‌اي نداشتند.
در حقيقت ما در بعد چهارم يا پيوستار فضا زمان زندگي مي‌کنيم. گرچه از زمان اينشتين به بعد بود که فهميديم حتي بعد سوم واقعا وجود ندارد و تنها مدلي براي واقعيت مي‌تواند باشد، اما پس از مندل‌برو بود که تازه متوجه شديم بعد چهارم واقعا چيست و چگونه به نظر مي‌رسد و از چهره فراکتالي آشوب و بي‌نظمي باخبر شديم؛ کسي که چهره اصلي نظريه‌پردازي آشوب در زمانه ما محسوب مي‌شود.
تحقيقات مندل‌برو نهايتا به دستاورد بزرگي منجر شد که در يک فرمول ساده رياضي خلاصه مي‌شود. اين فرمول که امروز به افتخار نام مخترعش مجموعه مندل‌برو ناميده مي‌شود و برخي آن را بزرگ‌ترين کشف رياضيات قرن بيستم مي‌دانند يک حساب ديناميک و پويا بر اساس تکرار اعداد مرکب با صفر به عنوان نقطه شروع است.
فرمول مندل‌برو خلاصه‌اي از درک و بينش‌هاي بسياري است که مندل‌برو از هندسه فراکتال طبيعت يا همان جهان واقعي بعد چهارم به دست آورده است. فرمول مندل‌برو در تضاد آشکار با جهان آرماني اشکال اقليدسي بعدهاي اول تا سوم است که دغدغه خاطر تقريبا تمامي رياضيدانان پيش از مندل‌برو بوده است.
در جايي که هندسه اقليدسي پيرامون کمال مطلق تقريبا ناموجودي در طبيعت دور مي‌زد و سعي داشت همه اشيا و مظاهر طبيعي را از دريچه تنگ نظم و ترتيب مجسم کند و قاعدتا از توصيف واقعي شکل يک ابر، کوه، خط ساحلي يا حتي يک درخت ناتوان بود.
مندل‌برو در کتاب هندسه فراکتال طبيعت (1362) خود مي‌گويد: «ابرها کروي نيستند، کوه‌ها مخروط نيستند، خطوط ساحلي مدور نيستند، پوست درخت صاف نيست و رعد و برق نيز خط سير مستقيمي ندارد.»
پيش از مندل‌برو، رياضيدانان بر اين باور بودند که پيچيدگي، بي‌قاعدگي، بخش بخش شدگي و بي‌نظمي اکثر الگوهاي طبيعت فراتر از آن است که بتوانند به لحاظ رياضياتي توصيف و تبيين شوند. اما مندل‌برو، هندسه فراکتالي جديدي از طبيعت را بر اساس بعد چهارم و اعداد مرکب درک و توسعه بخشيد که قادر به توصيف رياضيات بي‌نظم‌ترين اشکال جهان واقعي است.
به گفته خودش هندسه فراکتالي صرفا فصلي از کتاب رياضيات نيست، بلکه موهبتي از دانش رياضيات است که امکان مشاهده متفاوت يک جهان را براي همگان فراهم مي‌آورد.
مندل‌برو ثابت کرد بعد چهارم شامل ابعاد کسري مي‌شود که بين سه بعد نخست قرار دارد و اين مفهوم ابعاد بينابيني يا حد فاصل ابعاد را بعدهاي فراکتالي ناميد.
وي واژه فراکتال را بر اساس صفت لاتين فرکتوس نامگذاري کرد که با فعل لاتين فرنجر به معني شکستن و خرد کردن متناظر بود و مفهوم ايجاد بخش‌هاي نامنظم و نامرتب را تداعي مي‌کرد.
مندل‌برو به لحاظ رياضياتي و گرافيکي نشان داده است طبيعت براي ايجاد اشکال مختلط و بي‌نظم و قاعده جهان واقعي چگونه از بعدهاي فراکتال استفاده مي‌کند. يک فراکتال به عنوان فرمي هندسي داراي اشکال نامنظم است، اما در بطن اين تصاوير بي‌قاعده و نامنظم، نظمي پنهان وجود دارد.
اين نظم پنهان در بي‌نظمي در اصل تکرار پشت سر هم نسخه‌هاي شبيه به هم از شکل کلي است که ظاهرا به چشم نمي‌آيد، ولي زماني که بخش کوچکي از يک شکل نامنظم کلي همانند کوه را از نزديک مشاهده مي‌کنيم، با نسخه تکرار شده مشابهي از شکل کلي کوه در مقياس کوچک‌تر مواجه مي‌شويم و هر چه نزديک‌تر شويم باز هم همان شکل را در مقياسي خردتر مي‌بينيم و اين تسلسل تا بي‌نهايت مي‌تواند ادامه داشته باشد.
مي‌توان در هر جايي از طبيعت يا در واقع دنياي زيگزاگ طبيعت فراکتال‌ها و خود تشابهي را با هر مقياسي سراغ گرفت. اين واقعيت زيبا در هر برف دانه، هر خدنگ رعد وبرق، هر درخت، هر شاخه و حتي در دستگاه گردش خون با رگ‌هايش و خلاصه از صدف دريا گرفته تا کهکشان‌هاي مارپيچ به چشم مي‌خورند.
فرش قرمز دانش براي هندسه فراکتالي
امروز به لطف مندل‌برو و نظريه معاصر بي‌نظمي، ما به درکي رياضياتي از برخي فعاليت‌هاي تاکنون مخفي و رازآلود طبيعت نائل شده‌ايم. ما براي نخستين بار فهميده‌ايم که چرا دو درخت نزديک به يکديگر در جنگل که در يک زمان و از يک خاک و از يک خانواده با ژن‌هاي يکسان در حال رشد و نمو هستند، هر کدام به شکلي منحصر به فرد از کار درخواهند آمد.
درست همانند هر برف دانه‌اي که از يک ابر و در يک زمان و تحت شرايط يکساني تشکيل شده و فرود مي‌آيند، ولي باز هم هر کدام از آنها بي‌مانند و يگانه هستند و با بقيه برف دانه‌ها فرق دارند.
چنين حالتي تنها به واسطه خصلت بي‌نهايتي که در بعدها و تأثير متقابل تصادف و احتمال يا همان بي‌نظمي‌غير قابل پيش‌بيني وجود دارد، امکان‌پذير مي‌شود. هندسه فراکتالي بر بسياري از حوزه‌هاي علوم مانند اخترفيزيک و علوم‌زيستي سايه افکنده و به يکي از مهم‌ترين تکنيک‌هاي دانش گرافيک رايانه بدل شده است.
فراکتال‌ها در اختر فيزيک
هيچ‌کس واقعا نمي‌داند چند ستاره در آسمان شب چشمک مي‌زند، ولي نحوه شکل‌گيري و قرارگيري آنها در عالم همواره مايه حيرت و شگفتي بوده است. اختر فيزيکدانان بر اين باورند که ماهيت فراکتالي گاز ميان ستاره‌اي کليد راهنماي اين مسأله باشد.
فراکتال پخش و انتشار گازها به صورت سلسله مراتبي است که نظير آن در خزيدن‌هاي دود در هوا يا موج خوردن ابرها در آسمان ديده مي‌شود. اشکال آشفتگي ابرها در آسمان و در فضا الگويي نامنظم، اما تکرار شونده به آنها مي‌بخشد که توصيفش بدون کمک گرفتن از هندسه فراکتالي غيرممکن خواهد بود.
فراکتال‌ها در علوم زيستي
مدلسازي طبيعت با استفاده از بازنمايي‌هاي هندسه اقليدسي که ضربان خون را به صورت موج سينوسي، درختان سوزني برگ را به صورت مخروط و غشاي سلولي را به صورت منحني و سطوح صاف و ساده به نمايش مي‌گذاشت، تغيير خواهد کرد.
نمونه‌هاي بارزي از اشکال فراکتالي را مي‌توان در بدن انسان يافت. شناخته شده‌ترين مثال فراکتال بدن مجموعه رگ‌ها و شريان‌هاي دستگاه گردش خون پستانداران و انسان است.
ساختار نايژه‌اي شش‌هاي انسان از جمله فراکتال‌هاي زيبا و مثال‌زدني زنده محسوب مي‌شود که ويژگي خودمتشابهي و ايجاد نسخه‌هاي مکرر خردتر از نمونه کل را تا بيش از 15 انشعاب مسلسل و پي در پي به نمايش مي‌گذارند.
کشفيات تازه در حوزه تحقيقات مغز به وجود يک ساختار فراکتالي مبتني بر شش ضلعي‌ها اشاره دارد که ممکن است در نحوه سازماندهي ميدان‌هاي گيرندگي بصري بخش قشري مغز نقش داشته باشد.
دانشمندان کشف کرده‌اند معماري پايه يک کروموزم ساختاري درختي دارد و هر کروموزم شامل ميکروکروموزم‌هاي بسياري مي‌شود که مي‌توان با تئوري فراکتال آن را توضيح داد.
از طرفي ويژگي خودمتشابهي ذاتي فراکتال‌ها در توالي‌هاي DNA نيز مشخص شده است. به عقيده برخي زيست‌شناسان، از شناسايي خصوصيات فراکتالي دي.ان.اي مي‌توان براي حل روابط تکاملي جانوران استفاده کرد.
دانش زيست‌شناسي ممکن است در آينده براي ارائه مدل‌هاي جامعي از الگوها و فرآيندهاي مشاهده شده در طبيعت از هندسه فراکتال استفاده کند.
فراکتال‌ها در گرافيک رايانه‌اي
وسيع‌ترين دامنه کاربرد فراکتال‌ها در زندگي روزمره در علوم رايانه است. بسياري از طرح‌هاي فشرده‌سازي تصويري از الگوريتم‌هاي فراکتال استفاده مي‌کنند.
هنرمندان گرافيک رايانه‌اي براي خلق مناظر بافت‌دار و ديگر مدل‌هاي پيچيده و پر طول و تفصيل از فرم‌هاي فراکتال زيادي استفاده مي‌کنند.
ايجاد انواع تصاوير واقع نمايانه از سکانس‌هاي طبيعت نظير تصاويري از ماه، رشته کوه‌ها و خطوط ساحلي که در بسياري از جلوه‌هاي ويژه سينمايي ديده مي‌شوند به لطف همين الگوريتم‌هاي فراکتالي امکان پذير هستند.
و اما حرف آخر
دانشمندان دريافته‌اند هندسه فراکتال ابزار قدرتمندي براي رازگشايي از طيف گسترده‌اي از نظام‌ها و حل‌کردن مشکلات مهم علوم کاربردي است.
نظام‌هاي فراکتالي عيني و ملموس جهان فهرست بلند بالايي دارند که بهسرعت در حال رشد است. فراکتال‌ها دقت ما در توصيف و طبقه‌بندي کردن اشياي تصادفي يا ارگانيک را بهبود بخشيده‌اند، اما ممکن است کامل و بي‌عيب نباشند.
شايد فراکتال‌ها فقط به جهان ما نزديک‌ترند و يکي عين آن نيستند. برخي دانشمندان هنوز بر اين باورند که بي‌نظمي وجود دارد و هيچ معادله رياضي آن را به طور کامل و بي‌نقص توصيف نخواهد کرد.
شايد هم از نظر بسياري، فراکتال‌ها چيز بيشتري از تصاوير زيبا عرضه نخواهند کرد، اما فراکتال‌ها و هندسه فراکتالي هر چه باشد منظره متفاوتي از واقعيت جهاني را که در آن زندگي مي‌کنيم به نمايش گذاشته است.
فراکتال در دل طبيعت
نمايش آشکار الگوهاي تکرار شونده مدل منحني‌هاي فراکتالي موسوم به فراکتال برف‌دانه کخ
هندسه فراکتالي را در حيات وحش هم مي‌توان ديد. به عنوان مثال فراکتال پر زرق و برقي که طاووس براي جلب نظر جفت به کار مي‌برد
مسير حرکت آذرخش با شکل‌گيري مرحله به مرحله به سوي زمين و تبديل هوا به پلاسما يک الگوي فراکتال آشکار است
غايت فراکتال سبزيجات، فراکتالي از نوع مارپيچ لگاريتمي در کلم بروکلي که به مارپيچ طلايي معروف است
سرپاوران دريايي که 65 ميليون سال پيش منقرض شدند. الگوي رشد پوسته آنها مارپيچ لگاريتمي است
اين پهنه‌هاي پوشيده از نمک الگوي ثابت ولي تصادفي را که مشخصه‌هاي فراکتالي است به نمايش مي‌گذارد.