گزیده نکات درس آمار

مبحث آمار ومدلسازي در رشته هاي تجربي و رياضي هر ساله 2 سوال و در رشته انساني بيش از دو سوال را در درس رياضي به خود اختصاص مي دهد ، به اميد اين که هيچ دانش آموزاني درس رياضي را سفيد نگذارد .

فصل 1 : اندازه گيري و مدل سازي:

انواع اطلاعات :

1-      اطلاعات کيفي :

·         اين اطلاعات با واژه هاي توصيفي بيان مي شوند . مثلا تاحدي ، خيلي ، کم و...

·         نقطه ضعف استفاده از اين نوع اطلاعات اين است که هر کسي ممکن است برداشت و تفسير شخصي خود را داشته باشد.

2-      اطلاعات کمي :

·         اين اطلاعات با عدد و رقم بيان مي شود و قابل اندازه گيري است . مثلا : 20 متر، 5 کيلوگرم و.....

·         نقطه قوت استفاده از اين است که چون ميزان دقيق آنها مهلوم است ف تمام افراد درک واحدي از آنها دارند . تمام افراد درک واحدي از آن ها دارند . در واقع در اين اطلاعات « چقدر» و « چه اندازه » کاملا مشخص است .

اندازه گيري :

·         تعريف اندازه گيري : اولين گام در رسيدن به اطلاعات عددي ( کمي ) ، اندازه گيري است .

·         عوامل مورد نياز براي اندازه گيري :

1-      معيار

2-      مقدار

·         خطاي اندازه گيري

·         عواملي بروز خطاي اندازه گيري :

1-      وسيله اندازه گيري

2-      فرد اندازه گير

·         ويژگي هاي خطاي اندازه گيري

1-      E  هرگز صفر نمي شود .يعني همواره خطا داريم .

2-      E مقدار کوچکي دارد .

3-      E از واحد اندازه گيري کوچکتراست ونمي توان منفي يا مثبت باشد .

مدل سازي :

·         تعريف مدل سازي : بيان مسائل به زبان رياضي را مدل سازي گويند .

·         ويژگي هاي يک مدل خوب :

1-      از مفاهيم ساده و ابتداي استفاده شود.

2-      به پديده ي مورد نظر نزديک باشد .

·         انواع مدل :

مدل هارا مي توان برحسب ويژگي هاي متغيير دسته بندي کرد :

·         برحسب تعداد متغير:

1-      مدل هاي يک متغيره :

2-      مدل هاي چند متغيره :

·         برحسب توان متغير:

1-      توان 1:

2-      توان 2:

3-      توان 2 و بيشتر :

4-      ضرب دو يا چند e مختلف درهم:

روش هاي حل مسائل مربوط به مدل سازي و خطاي اندازه گيري :

1.      هرگز وجود e را فراموش نکنيم .حتي اگر مسئله به آن اشاره نکرده باشد .

2.      فرمول مناسب را مي نويسيم  ، فرمول هاي پرکاربرد

2.1  : محيط و مساحت : مربع ، مستطيل ، دايره ، مثلث

2.2  حجم : مکعب ، مکعب مستطيل ، استوانه ، کره

3.      عدد گذاري نکنيم . در فرمول به جاي متغير ( متغير+ خطا ) بگذاريم.

4.      عدد گذاري نکنيم . تمام ضرب و تقسيم ها را انجام مي دهيم و e هاي با توان 2 وبيشتر ونيز چندe مختلف که در هم ضرب شده اند را حذف مي کنيم .

5.      حالا عدد گذاري مي کنيم .

فصل 2 : جامعه ونمونه

·         جامعه :

تعريف : مجموعه اي از افراد واشيا است که در مورد آنها موضوع يا موضوعاتي را مطالعه مي کنيم .

·         سرشماري :

         تعريف : وقتي تمام اعضاي جامعه را مورد مطالعه قرار مي دهيم .

·         مشکلات سرشماري :

1-      وقت گير بودن

2-      گران تمام شدن وپر هزينه بودن

3-      دردسترس نبودن همه ي اعضاي جامعه

4-      امکان از بين رفتن بخشي از جامعه در جريان سرشماري

·         اندازه ي جامعه :

تعريف: تعداد اعضاي جامعه است .

·         نمونه :

  تعريف : نمونه زير مجموعه ي از جامعه است .پس نمونه ويژگي هاي جامعه را دارد اما از جامعه کوچکتر است .

·         مواردي که نياز به نمونه گيري داريم :

1-      بزرگ بودن جامعه

2-      تنوع در جامعه

·         ويژگي هاي يک نمونه خوب :

1-      به اندازه کافي بزرگ باشد .

2-      تصادفي باشد .

3-      بيانگر ويژگي هاي جامعه باشد.

·         نمونه گيري : مهم ترين بخش آمار است .

·         اندازه ي نومنه : تعداد اعضاي نمونه است .

·         داده : نتايج حاصل از اندازه گيري يابررسي نمونه را داده مي گويند

·         روش هاي جمع آوري داده :

1-      داده هاي از پيش تعيين شده

2-      پرسش

3-      مشاهده و ثبت وقايع

4-      آزمايش

فصل 3 : متغير هاي تصادفي

·         متغير تصادفي  : موضوع يا موضوعاتي است که بررسي  مي کنيم .

·         انواع متغير تصادفي : متغيرهاي تصادفي را بر حسب قابليت بيان با اعداد به دو دسته  تقسيم  مي کنند .

1-      متغيرهاي تصادفي کمي  :

1.1  کمي گسسته

1.2  کمي پيوسته

2        متغيرهاي تصادفي کيفي :

2.1  کيفي ترتيبي

2.2  کيفي ا سمي

فصل 4 : دسته بندي داده ها و جدول فراواني

دسته بندي : به سه زير موضوع دسته بندي مي شود :

1.      دامنه تغييرات  :

نکته  1: طول بازه که متغيير در آن تغيير مي کند          R= MAX – MIN

نکته 2 : داده ها باهم برابر  درنتيجه  R= 0

2.      مرکز دسته 

انواع فراواني

·         فراواني مطلق  : تعداد دفعاتي که يک داده تکرار شده  ، تعداد اعضاي يک دسته  

·          فراواني نسبي  : تعداد تکرار يک داده نسبت به کل داده

·         فراواني تجمعي : تعداد داده هاي کم تر از يک داده ي خالص

·         کليد واژه هاي مهم :

-        نسبي

-        تجمعي

-        درصد

فصل 5: نمودار ها و تحليل داده ها

انواع  نمودارها :

1-      نمودار ميله اي:

·         اين نمودار بيشتر براي متغيير هاي کمي گسسته و کيفي استفاده مي شود.

2-      نمودار مستطيلي :

·         اين نمودار بيشتر براي متغيرهاي کمي پيوسته مناسب است .

·         در اين نمودار دو ابزار براي مقايسه داريم :

-        اگر طول  دسته ها با هم مساوي باشند . ( يعني عرض مستطيل ها باهم برابرند ) ، معيار مقايسه طول مستطيل هاست .

-        اگر طول دسته ها مساوي نباشند ، معيار مقايسه مساحت مستطيل ها خواهد بود .

3-      نمودار چندبر فراواني  :

·         اين نمودار براي نشان دادن تغييرات بين دو دسته و داخل دسته ها به کار مي رود .

·         براي رسم نمودار چندبر فراواني بايد در نمودار مستطيلي ، وسط عرض مستطيل ها را مشخص کرده و به هم وصل کنيم .

4-      نمودار دايره اي :

·         اين نمودار را مي توان براي تمام انواع متغيرها استفاده کرد .

·         براي رسم نمودار دايره اي بايد مقدار زاويه ي متناظر با فراواني هر داده را داشته باشيم

5-      نمودار ساقه وبرگ :

·         زماني که  متغيير هاي ما گسسته باشند وبخواهيم داده ها را در نمودار ببينيم .شکل کلي ان به صورت جدولي است که دو ستون دارد ، ستون سمت چپ ساقه و ستون سمت راست برگ نام دارد.

فصل 6 : شاخص هاي مرکزي

شاخص هاي مرکزي :

1-      مد :

·         داده ايست که بيشترين فراواني را دارد

·         مد داده است ؛ نه فراواني

·         ويژگي هاي مد :

-        در نمودارهايي که فراواني را برحسب داده ها نشان مي دهد ، مد ،  قله ي نمودار است .

-        مد منحصر به فرد نيست ، مي توانيم بيش از يک مد داشته باشيم .

-        مد حتما متلق به جامعه نيست ؛ حداقل با يکي از داده ها برابر است .

-        مد مي تواند وجود نداشته باشد ؛ گاهي اتفاق مي افتد که مد نداشته باشيم . مثل زماني که فراواني تمام داده ها يکي باشد .

-        موارد استفاده :  نظرسنجي ها ، رآي گيري ها و انتخابات مهم ترين مواردي هستند که در آن ها از مد استفاده مي شود .

2-      ميانه :

·         داده ي که نصف داده ها از آن کم تر و نصف داده ها از آن بيشتر هستند ، يعني همان داده  ي وسط .

·         اگر تعداد داده ها فرد باشد ، داده ي  وسط ، ميانه است .

·         وقتي تعداد داده ها زوج باشد ، دو داده در وسط داريم : دراين حالت ميانگين دو داده ي وسط ميانه است .

·         ويژگي هاي ميانه :

-        ميانه منحصربه فرد است ؛ فقط و فقط يک مقدار براي ميانه داريم .

-        ميانه مي تواند متعلق به جامعه نباشد ؛ زماني که تعداد داده ها زوج باشد ، ممکن است ميانه با هيچکدام از داده ها برابر نباشد .

-        ميانه حتما وجو ددارد ؛ هميشه ودر هر شرايطي ميانه داريم .

-        زماني که داده ها هم برابرند ، ميانه با يکي ازآن ها برابر مي شوند .

3-      چارک ها : ( _{Q1 , Q2 , Q3 , Q4}    )

·         Q₁  :   داده اي که  25 درصد از آن کوچکتر و 75 درصد از آن بزرگترند .

_{·          Q2 : داده اي که 50 درصد داده ها از آن کوچکتر و 50 ئرصد از آن برزگتر ند Q2همان ميانه است .}

_{·          Q3 : داده اي که 75 درصد داده ها از آن کوچکتر و 25 درصد دادها از آن بزرگترند .}

·         _Q4 : داده اي که تمام داده ها از آن کوچکترند . Q4 همان بزرگترين داده  يا MAX است .

ويژگيهاي چارک ها :

·         چارک ها تمام ويژگي هاي ميانه را دارند.

·         ميانه و چارک ها با تعداد داده ها مرتبط مرتبط هستند نه با با مقدار داده ها .

4-      نمودار جعبه اي :

·         نمودار جعبه اي نشان دهنده ي تمرکز يا پراکندگي داده هاست . نشان مي دهد که بيش تر داد ها در نزديکي MIN؛ MAX ويا عددي خاص تمرکز دارند .

·         ابزار مورد نياز رسم نمودار جعبه اي :

-        MIN ؛ چارک اول  ؛ ميانه ( چارک دوم  ) ؛ چارک سوم ؛ MAX ( چارک چهارم )

5-      ميانگين :

·         ميانگين ؛ همان معدل داده هاست .

ميانگين را مي توان به دو نوع حسابي و وزن دار دسته بندي نمود .

-        ميانگين حسابي : زماني است که فراواني يا تکرار هر داده 1 باشد .

-        ميانگين وزن دار : زماني است که فراواني بيش از 1 داشته باشيم .

·         کاربرد ميانگين در مسائل  :

-        در اين مساله ها عبارت « به طور متوسط » به معناي ميانگين است .

-        ميانگين ادغامي

-        روش سريع محاسبه ي ميانگين ( استفاده از ميانگين حدسي )

·         ويژگي هاي ميانگين :

-        ميانه منحصربه فرد است ؛ فقط و فقط يک مقدار براي ميانگين داريم .

-        ميانه مي تواند متعلق به جامعه نباشد ؛ گاهي مقدار عددي ميانگين با مقدار مقدار هيچيک از داده ها برابر نيست .

-        ميانگين هميشه بين کم ترين بيش ترين مقدار داده هاست .

-        ميانگين وسط مقدار داده هاست ؛ همان مقداري که داده ها از ميانگين اضافي دارد ، همان مقدار هم کم دارند .

-        ميانگين از داده هاي پرت تاثير مي پذيرد .

*  نقاط ضعف شاخص هاي مرکزي :

*  مد : به جز مقداري  که بيش ترين فراواني را دارد ، اطلاعاتي در مورد ساير داده ها به ما نمي دهد .

* ميانه : در مورد نحوه ي توزيع در داده هاي کم تر و بيشتر از ميانه اطلاعاتي نمي دهد .

* ميانگين : به شدت تحت تاثير داده هاي پرت قرار دارد .

فصل 7 : شاخص هاي پراکندگي

1-      دامنه تغييرات

2-      چارک هاي بالا و پائين

3-      واريانس

4-      انحراف معيار

5-      ضريب تغييرات

1-      دامنه تغييرات :

در فصل 4 توضيح داده شد .

2-      چارک هاي بالا و پائين :

زماني که داده هاي پرت  داشته باشيم . از روش حذف چارک هاي بالا و پائين استفاده مي کنيم . تا جامعه يک دست  تر از شده و بتوانيم تحليل درست تري داشته باشيم .

توجه : در برخي موارد ، بسته به اندازه ي جامعه ( تعداد داده ها ) و ميزان نزديکي داده ها به هم ؛ ممکن است  يک دهم داده ها از بالا و پائين حذف شوند .

3-      واريانس / پرش

روش محاسبه :

1-      اگر  فراواني داده ها برابر يک باشد .

·         براي محاسبه واريانس ؛ محاسبه ميانگسن است .و حال براي محاسبه واريانس استفاده کنيم .

2-      اگر  فراواني داده ها برابر دو  باشد .

·         گام اول : محاسبه ميانگين 

·         گام دوم : محاسبه واريانس

نکته : در گام دوم واريانس به دست آمده اعشاري مي باشد .

·         گام سوم  کتاب کوچک هدفدار  مولف ( هدا سردار زاده ) صفحه ي 100 مراجعه کنيد .

ويژگي هاي واريانس  :

1-      همواره وجو دارد .

2-      منحصر به فرد است .

3-      همواره  نا منفي است .

4-      اگر تعداد داده ها با هم برابر باشند ، واريانس صفر مي شود .

5-      واحد واريانس ، مجذور واحد داده هاست .

تاثير ضرب  و جمع اعداد ثابت با داده ها بر واريانس :

-        تاثير ضرب در عدد :

اگر تمام اعداد را در يک عدد ضرب کنيم ، واريانس در مجذور آن عدد ضرب مي شود .

-        تاثير جمع عدد ثابت :

جمع يک عدد ثابت با تمام داده ها تاثيري بر واريانس ندارد .

3        –  انحراف معيار

·         ابتدا  محاسبه ي ميانگين 

·         محاسبه ي واريانس

·         جذر گرفتن از واريانس

ويژگي هاي انحراف معيار :

·         همواره وجود دارد

·         منحصر به فرد است .

·         همواره نامنفي است .

·         واحد آن با واحد داده ها برابر است .

·         اگر تمام داده ها با هم برابر باشد ، انحراف معيار صفر مي شود .

ضريب تغييرات :

·         ضريب تغييرات ميزان پراکندگي به ازاي يک واحد ميانگين است .

·         به عبارت ديگر خارج قسمت تقسيم  انحراف معيار بر ميانگين .

·         موارد استفاده :

-        مقايسه پراکندگي دو يا چند گروه از داده ها که واحد يکساني ندارند . مثل مقايسه پراکندگي قد و وزن دانش آموزان يک کلاس .

·         براي بدست آوردن ضريب تغييرات مراحل زير را انجام مي دهين :

-        پس اول بابيستي ميانگين را بدست آوريم .

-        سپس واريانس را حساب کنيم .

-        حال را واريانس را جذرگرفته تا انحراف معيار بدست آيد .

-        مقدار بدست آمده  براي انحراف معيار و ميانگين را در فرمول  ضريب تغييرات جايگذاري  مي کنيم .

·         ويژگي هاي ضريب تغييرات :

-        همواره نامنفي است .

-        منحصر به فرد است .

-        اگر داده ها با هم برابر باشند ، ضريب تغييرات صفر مي شود .

-        واحد ندارد .