1 -حدس گلدباخ
یکی از معروف‌ترین و قدیمی‌ترین مسائل حل‌نشده در ریاضیات، حدس گلدباخ است که با وجود صورت بسیار ساده‌ای که دارد، حدود ۲۷۰ سال ذهن ریاضیدان‌ها را به خود مشغول کرده است. آرزوی هر ریاضیدانی این است که آن را حل کند و چه‌بسا برای رسیدن به حل آن همچون فیلم «اتاق فِرما» دست به هر کاری بزنند! حدس گلدباخ بیان می‌کند که «هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از ۲ را می‌توان به‌صورت مجموع دو عدد اول نوشت.»
به عنوان مثال :
2+2 = 4
3+3 = 6
5+3 = 8
5+5 = 10
و...
این حدس در سال ۱۷۴۲ میلادی توسط کریستین گلدباخ در نامه‌ای به لئونارد اویلر مطرح شد. تلاش‌های بسیاری در اثبات این حدس انجام شده است؛ تلاش‌هایی که منجر به کشف قضیه‌های دیگر شده‌اند؛ اما این حدس کماکان حل‌نشده باقی مانده است. در سال ۱۹۹۲ مؤسسه‌ی انتشاراتی مشهور Faber & Faber کتاب داستان پرفروشی با عنوان «عمو پتروس و حدس گلدباخ» منتشر کرد که در آن، تاریخ ریاضیات در قالبی جذاب و داستانی شرح داده شده است. بعد از چند سال، انتشارات مزبور به منظور تبلیغ برای فروش بیشتر، جایزه‌ای یک میلیون دلاری برای کسی که از تاریخ ۲۰ مارس ۲۰۰۰ ،حداکثر به مدت دو هفته موفق به اثبات حدس گلدباخ شود، تعیین کرد؛ اما تا اتمام تاریخ مقرر و پس از آن، تاکنون هنوز هیچ ریاضیدانی از پس اثبات این حدس به‌ظاهر آسان، برنیامده است. در سال ۲۰۱۴ توسط کامپیوتر نشان داده شد که این حدس برای اعداد زوج کوچک‌تر از ۱۰۱۸×۴ درست است؛ اما هر چقدر این بررسی جلو برود، کافی نخواهد بود و در انتها تنها چاره‌ی ما تلاش برای اثبات آن است.
اگر شما کسی هستید که توانسته اید اثباتی برای این موضوع بیابید روزی قطعا مدال فیلدز ریاضیات را خواهید گرفت .