گفتن اينکه يک عدد صحيح داده شده بر 2 بخش پذير است يا نه کار آساني است . اين کار فقط با بررسي زوج بودن آخرين رقم ميسر است . روش هاي ساده ي ديگري هم براي تعيين بخش پذيري يک عدد بر 3و4و5و6و8و9 يا 10 وجود دارد . تنها استثنا عدد 7 است.
روش هاي شناخته شده براي امتحان بخش پذيري بر عدد 7 به طور شکفت انگيزي مشکل است.
اين روش هم يکي
از آنها است. براي اينکه بفهميم يک عدد مضربي از 7 است يا نه ، رقم آخر را 2 برابر
کنيد ، سپس عدد به دست آمده را از ارقام باقي مانده کم کنيد . اگر به عددي رسيديد
که بر 7 بخش پذير است ، مي توان نتيجه گرفت که عدد اصلي بر 7 بخش پذير است . حال اگر ندانيم که عدد به دست آمده بر 7
بخش پذير است يا نه مي توانيم همين کار را دوباره انجام دهيم .
مثلا عدد 616 را در نظر بگيريد براي اينکه بخش پذيري آن را بر 7 امتحان کنيم رقم آخر آن را 2 برابر کنيد(12=6*2)،سپس جواب را از ارقام باقيمانده کم کنيد (49=12– 61). چون 49 بر 7 بخش پذير است 616 هم بر 7 بخش پذير مي شود.
اين روش براي اعداد کوچک خيلي خوب کار مي کند اما براي اعداد بزرگتر ، به اندازه کافي پيچيده مي شود ، به طوري که تقريبا به اندازه ي خود عمليات تقسيم بر 7 وقت گير است.
در طول سالها افراد مختلف يک دو جين از اين دست الگوريتم ها را ابداع کرده اند. آخرين روش بدست آمده متعلق به Gustavo Gerald Toja Frachi از دانشگاه سائو پائولو برزيل است.
روش ابتکاري Toja به اين صورت عمل مي کند:
عدد زير که مضربي از 7 است را در نظر بگيريد
6،049،344
· از سمت راست عدد را به جفت هايي از ارقام تقسيم کنيد.
44_93_04_6
حال تفاوت بين هر جفت از اعداد با نزديکترين مضرب 7 بالايي يا پاييني آن ، را حساب کنيد. با جفت اول شروع کنيد . براي اولين جفت مضرب 7 پاييني را به کار ببريد، براي عدد دوم از مضرب 7 بالايي و براي سومي از مضرب 7 پاييني استفاده کنيد و به همين طريق ادامه دهيد تا جفت ها تمام شود.
44 – 42 = 2 ; 98 – 93 = 5 ; 04 – 0 = 4 ; 7 – 6 = 1
· ارقام به دست آمده را به ترتيبي که محاسبه کرديم (يعني از جفت هاي راست به چپ) روي کاغذ بنويسيد .
2541
براي ارقام 2541هم اين رويه را تکرار کنيد .
25 41
41 – 35 = 6; 28 – 25 = 3
63
· آخرين جفت ،63، مضربي از 7 است
Toja روش خود را توصيف مي کند و راجع به اينکه اين روش چگونه کار مي کند توضيح مي دهد.او ادعا مي کند که روشش بطور قابل ملاحظه اي سريع است و به اندازه کافي براي تعيين بخش پذيري بر7 اعداد بزرگ کار آمد است.
Alexander Bogolmolny به تازگي الگوريتم Toja را براي بخش پذيري بر 11 و بر 13 گسترش داده ، و Toja هم روشي براي تعيين باقيمانده هنگامي که عدد بر 7 بخش پذير نيست اضافه کرده.
جالب اينکه الگوريتم Toja با الگو ريتمي که توسط L. Vosburgh Lyons ، يک روان پزشک عصبي (neuropsychiatrist ) از نيويورک ، ارئه شده با روشي کاملا مشابه آغاز مي شوند.
اين مثالي است که Martin Gardner براي نشان دادن روش Lyons به کار مي برد.
· ارقام را از چپ به راست دو تا دو تا جفت کنيد.( م. عدد اصلي 2359406178839 بوده)
39_88_17_06_94_35_2
· اضافي هر جفت را از مضرب 7 ما قبل آن .
06 – 0 = 6 ; 17 – 14 = 3 ; 88 – 87 = 4 ; 39 – 35 = 4
2 – 0 = 2 ; 35 – 35 = 0 ; 94 – 91 = 3
2036344
· ارقام عدد به دست آمده را از سمت راست به صورت گروه هاي 3 تايي در آوريد در زير هم بنويسيد سپس ارقام هر ستون را با هم جمع بزنيد .
344
036
2
ستون اول: 3=0+3
ستون دوم: 7=3+4
ستون سوم: 12=2+6+4
·سه رقم به دست آمده را با کاهش مضرب هفت پاييني آنها ، کوچک کنيد.
3=0–3 ; 0=7–7 ; 5=7–12
305
· اضافي اولين رقم و دومين رقم باهم را از مضرب هفت پاييني حساب کنيد درسمت چپ يادداشت کنيد و اضافي رقم دوم و سوم را از مضرب هفت پاييني حساب کنيد و درسمت راست يادداشت کنيد.
305 ،5_30 ،05_3
2= 28–30 ; 5=0 – 05
25
· رقم سمت چپ را از رقم سمت راست کم کنيد . ( اگر رقم سمت راست کوچکتر از رقم سمت چپ بود 7 تا به آن قبل از تفريق اضافه کنيد.) عدد انتهايي باقيمانده تقسيم عدد اصلي بر 7 است. بنابراين عدد اصلي زماني بر 7 بخش پذير است که رقم بدست آمده - 0- صفر باشد.
3
هنوز به نظر مي آيد که انجام اين مراحل کار زيادي باشد ! هميشه چيزي راجع به 7 وجود دارد که منجر
به هر گونه پيچيدگي مي شود.
در زماني که ماشين حساب ها و کامپيوتر ها همه جا را گرفته اند . روشن نيست که اين الگوريتم هاي بخش پذيري به چه کار مي آيند. اگر چه باز ي با اعداد هميشه جاذبه هاي پايدار خودش را دارد بخصوص زماني که از رمز راز عدد هفت ، بدست آمده باشد.