سلام دوستان ! ✋
در این مطلب قصد داریم مبحث دایره از هندسه یازدهم را در قالب درسنامه و تست بررسی کنیم.
در این مطلب پنج تست از دایره قرار دادیم .
اگر سوالی از این مطلب دارید در قسمت کامنت ها بپرسید .
برای دریافت پاسخ تستی و تشریحی ، مطلب را از قسمت فایل های ضمیمه دانلود کنید.
فاضل مهرآئین _ دانشجوی مهندسی مکانیک صنعتی شریف _ رتبه 333 منطقه یک
برای ارتباط بیشتر با برترها و رزرو پشتیبان ویژه، رتبه برترهای کانون قلمچی را دنبال کنید،
همچنین می توانید با شماره ۰۲۱۸۴۵۱ داخلی ۳۱۲۳ تماس بگیرید.
دایره: مجموعه نقاطی از صفحه است که از یک نقطه ثابت به نام مرکز، به فاصله ثابتی به نام شعاع هستند. دایره ای به مرکز O و شعاع R با نماد C (O,R) نشان داده می شود.
نقطه و دایره نسبت به هم، 3 وضعیت می توانند داشته باشند:
الف)نقطه P خارج دایره قرار دارد: PO>R
ب)نقطه Q روی دایره قرار دارد: OQ=R
ج)نقطه M داخل دایره قرار دارد: OM<R
مماس: خطی که از نقطه A واقع بر دایره می گذرد و بر شعاع OA عمود است، خط مماس بر دایره در نقطه A نامیده می شود.
یک خط و یک دایره، نسبت به هم یکی از 3 وضعیت رو به رو را دارند.
الف)نقطه مشترکی ندارند OQ>R
ب)مماس اند ON=R
ج)متقاطع اند OM<R
تعریف وتر
وتر: پاره خطی است که 2 نقطه متمایز از یک دایره را به هم وصل می کند.
نکات مهم
1. در هر دایره اگر طول 2 وتر با هم مساوی باشند، کمان های متناظر با آن ها نیز با هم برابرند و بالعکس.
2. در هر دایره، وتری بزرگ تر است که فاصله اش از مرکز دایره کمتر است و بالعکس. همچنین اگر فاصله دو وتر از مرکز دایره با هم برابر باشد،طول آن دو وتر با هم برابر است.
3. در هر دایره،بین 2 کمان، کمانی بزرگ تر است که وتر مقابل آن بزرگ تر است.
4. در هر دایره قطر عمود بر وتر، وتر و کمان نظیر آن را نصف می کند و بالعکس.
اگر A نقطه ای داخل دایره ای به مرکز O باشد، کوتاه ترین وتر گذرنده از نقطه A ،وتری است که در نقطه A بر OA عمود می شود. طول این وتر با استفاده از قضیه فیثاغورث قابل محاسبه است.
زاویه مرکزی زاویه ای است که راس آن مرکز دایره و ضلع های آن شعاع هایی از دایره اند. بنا به قرارداد، اندازه هر زاویه مرکزی، برابر با اندازه کمان مقابلش است.
زاویه محاطی: زاویه ای است که راس آن روی محیط دایره و ضلع های آن وترهایی از دایره اند. اندازه زاویه محاطی، برابر با نصف کمان مقابل به آن است.
زاویه ظلی: زاویه ای است که راس آن روی محیط دایره، یک ضلع آن وتری از دایره و ضلع دیگرش بر دایره مماس است. اندازه زاویه ظلی، برابر با نصف کمان مقابل به آن است.
زاویه بین دو وتر دایره که در داخل دایره متقاطع اند: اندازه این زاویه برابر با میانگین دو کمان مقابل به آن است.
زاویه بین امتداد دو وتر دایره که در خارج دایره متقاطع اند (هم چنین زاویه بین امتداد یک وتر و یک مماس و نیز زاویه بین دو مماس، مساوی با نصف قدر مطلق تفاضل دو کمان است.
روابط طولی در دایره
MA.MB=MC.MD
NT.TQ=PT.TQ
همچنین، برقراری روابط بالا بدان معناست که نقاط A,B,C,D,N,P,E,Q روی دایره قرار دارند.
MT^2=MA.MB
مماس مشترک خارجی
AB^2=d^2-(R1-R2)^2
رابطه بالا بیانی از فیثاغورث است.
مماس مشترک داخلی
AB^2=d^2-(R1+R2)^2
رابطه بالا بیانی از فیثاغورث است.
اوضاع نسبی دو دایره در صفحه
دو دایره در صفحه، یکی از شش وضعیت زیر را نسبت به یکدیگر خواهند داشت:
متخارج
مماس خارج
متقاطع
مماس داخل
متداخل
هم مرکز
متخارج
d>R1+R2
d همان خط المرکزین است.
مماس خارج
d=R1+R2
d همان خط المرکزین است.
متقاطع
R1-R2<d<R1+R2
d همان خط المرکزین است.
مماس داخل
d= اختلاف شعاع ها
متداخل
d< اختلاف شعاع ها
هم مرکز
d=0
چند ضلعی را محاطی می گوییم اگر و فقط اگر دایره ای باشد که از همه رئوس آن بگذرد. در این صورت دایره را دایره محیطی آن چند ضلعی می نامیم.
یک چند ضلعی، محاطی است اگر و فقط اگر عمود منصف های همه اضلاع آن در یک نقطه هم راس باشند.
چند ضلعی را محیطی می گوییم اگر و فقط اگر دایره ای باشد که بر همه اضلاع آن مماس باشد. در این صورت دایره را دایره محاطی این چند ضلعی می نامیم
یک چند ضلعی، محیطی است اگر و فقط اگر همه نیمسازهای زوایای آن در یک نقطه همرس باشند. این نقطه مرکز دایره محاطی چند ضلعی است.
نکات
1) یک چهارضلعی محاطی است اگر و تنها اگر هر دو زاویه مقابل آن مکمل باشند و بالعکس.
2) همه مستطیل ها و مربع ها محاطی هستند.
3) یک متوازی الاضلاع تنها در صورتی محاطی است که مستطیل باشد.
4) یک ذوزنقه تنها در صورتی محاطی است که متساوی الساقین باشد.
5) هر چند ضلعی منتظم، هم محاطی و هم محیطی است.
6) اگر یک چند ضلعی به مساحت S و محیط 2P بر دایره ای به شعاع R محیط باشد، آن گاه داریم: R=S/P
7) اگر ha,hb,hc اندازه 3 ارتفاع در مثلث و R شعاع دایره محاطی باشد، آن گاه داریم:
8) اگرRa,Rb,Rc شعاع های 3 دایره محاطی خارجی مثلث و R شعاع دایره محاطی داخلی باشد، آن گاه داریم:
در مثلث متساوی الساقینABC (AB=AC) ، نقطه O در امتداد AC مرکز دایره ای است که در نقطه B بر ضلع AB مماس است. امتداد BC این دایره را در D قطع کرده است. مثلث OCD چگونه است؟ (متوسط- سراسری ریاضی-94)
1)متساوی الساقین 2)قائم الزاویه
3)قائم الزاویه و متساوی الساقین 4)غیر مشخص
2. چهار ضلعی ABCD محاط در یک دایره است. اگر AB دورترین وتر و BC نزدیک ترین وتر نسبت به مرکز این دایره باشند، کدام رابطه بین زوایا ممکن است برقرار نباشد؟(سراسری ریاضی-96)
B>D(4 A>B(3 B>C(2 D>C(1
در شکل زیر، O محل تلاقی ارتفاع های مثلث ABC است. زاویه AOD برابر کدام است؟ (سراسری ریاضی-92)
ADO(4 OAC(3 CAD(2 OBC(1
در شکل زیر، مماس AC با وتر AB از دایره برابر است. اگر کمان DMB برابر 222 درجه باشد، زاویه C چند درجه است؟ (خارج کشور ریاضی-91)
1)21
2)22
3)23
4)24
در یک مثلث متساوی الساقین، اندازه ارتفاع وارد بر قاعده 8 و شعاع دایره محاطی داخلی آن 3 واحد است. طول قاعده این مثلث کدام است؟ (سراسری ریاضی-96)
1)10
2)12
3)14
4)16
پاسخ تست ها در فایل ضمیمه آورده شده است.
موفق باشید