دانش آموزان عزیز سلام...
در این مطلب جزوه و تست از مبحث روابط طولی در مثلث ( قضیه سینوس ها و کسینوس ها - قضیه میانه ها - قضیه نیمساز های زوایای داخلی - قضیه هرون ) برای شما تهیه شده است.
یونس میرچولی _ دانشجوی مهندسی صنایع دانشگاه امیرکبیر
محمدمهدی کربلایی رجب _ دانشجوی مهندسی مکانیک دانشگاه شریف
یاد آوری : در سال گذشته روابط طولی زیر را در مثلث قائم الزاویه بررسی کردیم :
هرمثلث ABC رابطه زیر برقرار است. در این رابطه که به قضیه سینوس ها معروف است، R شعاع دایره محیطی مثلث ABC است.
قضیه کسینوس ها
در هر مثلث ، مربع اندازه هر ضلع برابر است با مجموع مربع های اندازه های دوضلع دیگر منهای دو برابر حاصل ضرب اندازه دوضلع در کسینوس زاویه بین آن ها.
توجه: اگر دو زاویه و یک ضلع یا دو ضلع و زاویه روبه رو به یکی از آن ها را در مثلثی داشته باشیم، برای به دست آوردن اضلاع یا زوایای دیگر از قضیه سینوس ها استفاده می کنیم.
قضیه استوارت : در مثلث ABC ،نقطه دلخواهD روی ضلع BC مفروض است. همواره داریم :
توجه : با نوشتن قضیه استوارت در دو مثلث ABC و ADC می توان درستی تساوی فوق را اثبات کرد.
حالت خاص : در مثلث متساوی الساقین، قضیه استوارت به صورت زیر ساده می شود :
توجه : به کمک قضیه استوارت میتوان طول میانه های مثلث را بدست آورد.
به کمک قضیه کسینوس ها میتوان نشان داد که :
1. Â>90 اگر و تنها اگر b² + c² < a²
2. 90=Â اگر و تنها اگر b² + c² = a²
3. Â<90 اگر و تنها اگر a² < b² + c²
قضیه میانه ها :
در هرمثلث، مجموع مربعات دو ضلع برابر است با دوبرابر مربع میانه نظیر ضلع سوم به علاوه نصف مربع ضلع سوم.
نکته : در حالت خاص که مثلثِ تحت بررسی، متساوی الساقین باشد ، قضیه میانه ها برای میانهء نظیر قاعدهء مثلث به صورت زیر ساده میشود :
تذکر : در اینجا به بررسی دقیقتر هشت ضلعی میپردازیم. تعداد زیادی از تست های هشت ضلعی به کمک قضیه کسینوس ها حل می شوند.
هشت ضلعی منتظم : هشت ضلعی است که تمام اضلاعش با هم و تمام زوایایش با هم مساوی باشند.1. اندازه هر زاویه داخلی هشت ضلعی منتظم 135 درجه است.
2. معمولا برای حل تست های هشت ضلعی منتظم، آن را داخل یک مربع قرار می دهند. از این مربع همچنین برای محاسبه مساحت هشت ضلعی نیز استفاده می شود.
3. هشت ضلعی منتظم 3 قطر متفاوت دارد که طول هریک به راحتی محاسبه می شود :
- قضیه نیمسازهای زوایای داخلی:
- در هر مثلث، نیمساز هر زاویه داخلی، ضلع روبه رو به آن زاویه را به نسبت اندازه های ضلع های آن زاویه تقسیم میکند.
تذکر : عکس قضیه نیمساز نیز برقرار است، یعنی اگر پاره خط AD ضلع BC را به نسبت دو ضلع دیگر تقسیم کند ، آنگاه AD نیمساز زاویه A است.
قضیه : در هر مثلث ، مربع اندازه هر نیمساز داخلی برابر است با حاصل ضرب اندازه های دو ضلع زاویه ، منهای حاصل شرب اندازه دو قطعه ای که نیمساز روی ضلع مقابل ایجاد میکند. یعنی :AD² = AB.AC – BD.CD
- محاسبه طول نیمساز داخلی هر زاویه مثلث با دستور مثلثاتی :
از جمع مساحت مثلث های ABD و ACD و مساوی قرار دادن مجموع آنها با مساحت مثلث ABC و کمک گرفتن از اتحاد مثلثاتی COS 0.5A * 2 SIN 0.5A = SIN A، به رابطه جدیدی برای محاسبه طول نیمساز داخلی زاویه A می رسیم.
تذکر : معمولا در شرایطی که دو ضلع مثلث و زاویه بین آنها معلوم باشند ( یا حتی سه ضلع مثلث معلوم باشند) می توان از این دستور برای محاسبه طول نیمساز استفاده کرد.
قضیه هرون:
در مثلث ABC اگر اضلاع مثلث به شکل رو به رو باشند و P = 0.5 (a + b + c ) نصف محیط مثلث باشد ، آن گاه مساحت مثلث برابر است با :
تست های این بخش :
1. مساحت مثلثی برابر 84 و محیط آن برابر 42 است. اضلاع این مثلث کدام مقادیر می‌توانند باشند؟
12 و 13 و 17
10 و 14 و 18
13 و 14 و 15
12 و 14 و 16
2. اگر هر یک از اضلاع مثلثی دو برابر شود، مساحت آن چند برابر میشود؟
دو برابر میشود
چهار برابر میشود
نصف میشود
اطلاعات کافی نیست.
3. کدام گزینه در مورد مساحت مثلث‌های ABC و ADC درست است؟ (اندازه‌ها به متر است)
مساحت مثلث ABC به اندازۀ 54 مترمکعب بیشتر از مساحت مثلث ADC است.
مساحت مثلث ABC به اندازۀ 48 مترمکعب بیشتر از مساحت مثلث ADC است.
مساحت مثلث ABC به اندازۀ 54 مترمکعب کمتر از مساحت مثلث ADC است.
مساحت مثلث ABC به اندازۀ 48 مترمکعب کمتر از مساحت مثلث ADC است.
4. در شکل مقابل، اندازهxکدام است؟
5. مساحت مثلث متساوی‌الساقینی با زاویه رأس 30 درجه، 9 سانتی‌متر مربع است. طول نیمساز و میانۀ وارد بر قاعدۀ این مثلث کدام است؟ (sin75∘/96)
5/8 و 5/8
3/2 و 4/6
3/2 و 3/2
4/6 و 4/6
تست های بیشتر و همچنین پاسخ سوالات در فایل پی دی اف مطلب موجود است.
دوست عزیزم از طریق پیج اینستاگرام رتبه برترهای کانون میتونی با من و همکارانم در ارتباط باشی تا هر جا نیاز به راهنمایی داشتی، کمکت کنیم.
موفق باشید.
